Question

設橢圓C₁的方程為(a＞b＞0)，曲線C₂的方程為y=，且曲線C₁與C₂在第一象限內只有一個公共點P.

（1）試用a表示點P的坐標；

（2）設A、B是橢圓C₁的兩個焦點，當a變化時，求△ABP的面積函數S(a)的值域；

（3）記min{y₁,y₂,……,y_n}為y₁,y₂,……,y_n中最小的一個. 設g(a)是以橢圓C₁的半焦距為邊長的正方形的面積，試求函數f(a)=min{g(a), S(a)}的表達式.

Answer 1

（1）P的坐標為()（2）△ABP的面積函數S(a)的值域為(0,)（3）f(a)=min{g(a), S(a)}

解析:

（1）將y=代入橢圓方程，得

化簡，得b²x⁴–a²b²x²+a²=0

由條件，有Δ=a⁴b⁴–4a²b²=0，得ab=2

解得x=或x=–（舍去）故P的坐標為(). 

(2)∵在△ABP中，｜AB｜=2，高為,

∴

∵a＞b＞0,b=

∴a＞,即a＞,得0＜＜1

于是0＜S（a）＜，故△ABP的面積函數S(a)的值域為(0,)

(3)g(a)=c²=a²–b²=a²–

解不等式g(a)≥S(a)，即a²–≥

整理，得a⁸–10a⁴+24≥0，即(a⁴–4)(a⁴–6)≥0

解得a≤（舍去）或a≥ 

故f(a)=min{g(a), S(a)}