Question

【題目】點P在雙曲線 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的右支上，其左、右焦點分別為F1 ， F2 ， 直線PF1與以坐標原點O為圓心、a為半徑的圓相切于點A，線段PF1的垂直平分線恰好過點F2 ， 則該雙曲線的漸近線的斜率為 ．

Answer 1

【答案】±
【解析】解：由線段PF1的垂直平分線恰好過點F2 ，
可得|PF2|=|F1F2|=2c，
由直線PF1與以坐標原點O為圓心、a為半徑的圓相切于點A，
可得|OA|=a，
設PF1的中點為M，由中位線定理可得|MF2|=2a，
在直角三角形PMF2中，可得|PM|= =2b，
即有|PF1|=4b，
由雙曲線的定義可得|PF1|﹣|PF2|=2a，
即4b﹣2c=2a，即2b=a+c，
即有4b2=（a+c）2 ，
即4（c2﹣a2）=（a+c）2 ，
可得a= c，b= c，
即有雙曲線的漸近線方程y=± x，
該雙曲線的漸近線的斜率為± ．
所以答案是：± ．