Question

已知如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=1，BC=2，又PB⊥平面ABCD，且PB=1，點(diǎn)E在棱PD上，且DE=2PE，
（Ⅰ）求異面直線PA與CD所成的角的大小；
（Ⅱ）求證：BE⊥平面PCD；
（Ⅲ）求二面角A-PD-B的大小.

Answer 1

解：如圖，以B為原點(diǎn)，分別以BC、BA、BP為x，y、z軸， 建立空間直角坐標(biāo)系， 則， 又DE=2PE， ∴， （1）， ∴， ∴異面直線PA與CD所成的角為60°。 （2）， ∴， ， ∴， 又PD∩PC=P， ∴BE⊥平面PCD。 （3）設(shè)平面PAD的一個(gè)法向量為， 則由，得， 令z=1，則， 又，設(shè)平面PBD的法向量為， 則由，得， 令，則， ∴， ∴， 又二面角A-PD-B為銳二面角， 故二面角A-PD-B的大小為60°。