Question

已知函數f（x）的定義域為R，對任意實數x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+

1

2

，且f(

1

2

)=0，當x＞

1

2

時，f（x）＞0．
（1）求f（1）+f（2）+…+f（n）（n∈N^*）；
（2）判斷函數f（x）的單調性并證明．

Answer 1

分析：（1）利用賦值法，確定f(1)=

1

2

，當n∈N*，f(n+1)=f(n)+f(1)+

1

2

，從而可得f（n+1）-f（n）=1，即{f（n）}是首項為

1

2

，公差為1的等差數列，利用等差數列的求和公式，即可得到結論；
（2）f（x）在（-∞，+∞）上是增函數，設設x₁＜x₂，x₁，x₂∈R，f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁），利用條件即可證明．

解答：解：（1）令x=y=

1

2

，則f(1)=f(

1

2

)+f(

1

2

)+

1

2

，∴f(1)=

1

2

，
則當n∈N*，f(n+1)=f(n)+f(1)+

1

2

，∴f（n+1）-f（n）=1，
∴{f（n）}是首項為

1

2

，公差為1的等差數列．
∴f（1）+f（2）+…+f（n）=

1

2

n+

n(n-1)

2

=

n2

2

；
（2）f（x）在（-∞，+∞）上是增函數．
證明：設x₁＜x₂，x₁，x₂∈R，
f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）=f(x2-x1)+f(x1)+

1

2

-f(x1)
=f(x2-x1)+f(

1

2

)+

1

2

=f(x2-x1+

1

2

)，
∵x₂＞x₁，∴x2-x1+

1

2

＞

1

2

，
由于當x＞

1

2

時，f（x）＞0，
∴f(x2-x1+

1

2

)＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在R上是增函數．

點評：本題考查數列的運用，考查賦值法，考查函數的單調性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．