Question

如圖，已知：射線OA為y=kx(k＞0，x＞0)，射線OB為y=-kx(x＞0)，動點P(x，y)在∠AOx的內部，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，四邊形ONPM的面積恰為k。
（1）當k為定值時，動點P的縱坐標y是橫坐標x的函數，求這個函數y=f(x)的解析式；
（2）根據k的取值范圍，確定y=f(x)的定義域。

Answer 1

解：（1）設M(a，ka)，N(b，-kb)，(a＞0，b＞0)，
則|OM|=a，|ON|=b，
由動點P在∠AOx的內部，得0＜y＜kx，
∴，
∴S_{四邊形ONPM}=S_△ONP+S_△OPM=（|OM|·|PM|+|ON|·|PN|）
=[a(kx-y)+b(kx+y)]=[k(a+b)x - (a-b)y]=k，
∴k(a+b)x-(a-b)y=2k， ①
又由，分別解得a=，b=，
代入①式消a、b，并化簡得x²-y²=k²+1，
∵y＞0，
∴y=。
（2）由0＜y＜kx，得 0＜＜kx，
 (*)
當k=1時，不等式②為0＜2恒成立，∴(*)x>；
當0＜k＜1時，由不等式②得，x＜，
∴(*)；
當k＞1時，由不等式②得，且＜0，
∴(*)，
但垂足N必須在射線OB上，否則O、N、P、M四點不能組成四邊形，
所以還必須滿足條件：y＜x，
將它代入函數解析式，得，
解得：(k＞1)，或x∈k（0＜k≤1）；
綜上：當k=1時，定義域為{x|x＞}；
當0＜k＜1時，定義域為{x|}；
當k＞1時，定義域為{x|}。