Question

如圖，已知：射線OA為y=kx（k＞0，x＞0），射線OB為y=-kx（x＞0），動點P（x，y）在∠AOx的內部，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，四邊形ONPM的面積恰為k．
（1）當k為定值時，動點P的縱坐標y是橫坐標x的函數，求這個函數y=f（x）的解析式；
（2）根據k的取值范圍，確定y=f（x）的定義域．

Answer 1

【答案】分析：本題考查的是函數解析式的求解和定義域的求解的綜合類問題．在解答時：
（1）先要仔細分析題目所給的條件，設出點M、N的坐標，將四邊形分解成兩個三角形：三角形OMP、三角形ONP分別表示出面積，然后求和即可找到x、y之間的關系式，進而即可獲得問題的解答；
（2）首先由0＜y＜kx，得到x必須的范圍，然后根據k分類討論，同時注意要構成四邊形的隱含條件，進而即可獲得自變量x的范圍，最后注意分情況下結論，進而問題即可獲得解答．
解答：解：（1）設M（a，ka），N（b，-kb），（a＞0，b＞0）．
則|OM|=a，|ON|=b．
由動點P在∠AOx的內部，得0＜y＜kx．
∴|PM|==，|PN|==
∴S_{四邊形ONPM}=S_△ONP+S_△OPM=（|OM|•|PM|+|ON|•|PN|）
=[a（kx-y）+b（kx+y）]=[k（a+b）x-（a-b）y]=k
∴k（a+b）x-（a-b）y=2k①
又由k_PM=-=，k_PN==，
分別解得a=，b=，代入①式消a、b，并化簡得x²-y²=k²+1．
∵y＞0，∴y=．
（2）由0＜y＜kx，得0＜＜kx??（*）
當k=1時，不等式②為0＜2恒成立，∴（*）?x＞．
當0＜k＜1時，由不等式②得x²＜，x＜，∴（*）?＜x＜．
當k＞1時，由不等式②得x²＞，且＜0，∴（*）?x＞
但垂足N必須在射線OB上，否則O、N、P、M四點不能組成四邊形，所以還必須滿足條件：y＜x，將它代入函數解析式，得＜x
解得＜x＜（k＞1），或x∈k（0＜k≤1）．
綜上：當k=1時，定義域為{x|x＞}；
當0＜k＜1時，定義域為{x|＜x＜}；
當k＞1時，定義域為{x|＜x＜}．
點評：本題考查的是函數解析式的求解和定義域的求解的綜合類問題．在解答的過程當中充分體現了圖形分割的思想、分類討論的思想以及問題轉化的思想．值得同學們體會和反思．