Question

如圖，圓：．

（Ⅰ）若圓與軸相切，求圓的方程；
（Ⅱ）已知，圓C與軸相交于兩點（點在點的左側）．過點任作一條直線與圓：相交于兩點．問：是否存在實數，使得？若存在，求出實數的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，使得.

試題分析：（Ⅰ）由圓與軸相切，可知圓心的縱坐標的絕對值與半徑相等.故先將圓的方程化成標準方程為：，由求得.即可得到所求圓的方程為：；（Ⅱ）先解出兩點的坐標，要使得，則可以得到：，若設，那么有：，結合直線與圓的方程去探討可得存在，使得.
試題解析：（Ⅰ）圓：化成標準方程為：
，
若圓與軸相切，那么有：
，解得，故所求圓的方程為：.
（Ⅱ）令，得，
即
所以
假設存在實數，
當直線AB與軸不垂直時，設直線AB的方程為，
代入得，，
設從而
因為
而


因為，所以，即，得．
當直線AB與軸垂直時，也成立．
故存在，使得．