Question

【題目】已知函數y＝f(x)是R上的偶函數，對x∈R都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立.當x1，x2∈[0，2]，且x1≠x2時，都有＜0，給出下列命題：

①f(2)＝0；

②直線x＝－4是函數y＝f(x)圖象的一條對稱軸；

③函數y＝f(x)在[－4，4]上有四個零點；

④f(2 014)＝0.

其中所有正確命題的序號為________.

Answer 1

【答案】①②④

【解析】令x＝－2，得f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，解得f(－2)＝0，因為函數f(x)為偶函數，所以f(2)＝0，①正確；因為f(－4＋x)＝f(－4＋x＋4)＝f(x)，f(－4－x)＝f(－4－x＋4)＝f(－x)＝f(x)，所以f(－4＋x)＝f(－4－x)，即x＝－4是函數f(x)的一條對稱軸，②正確；當x1，x2∈[0，2]，且x1≠x2時，都有＜0，說明函數f(x)在[0，2]上是單調遞減函數，又f(2)＝0，因此函數f(x)在[0，2]上只有一個零點，由偶函數知函數f(x)在[－2，0]上也只有一個零點，由f(x＋4)＝f(x)，知函數的周期為4，所以函數f(x)在(2，4]與[－4，－2)上也單調，因此，函數在[－4，4]上只有2個零點，③錯；對于④，因為函數的周期為4，即有f(2)＝f(6)＝f(10)＝…＝f(2 014)＝0，④正確.