Question

在平行四邊形ABCD中，|

AD

|=1，|

AB

|=2，|2

AB

-

AD

|=

13

，
（Ⅰ）求∠BAD；
（Ⅱ）若M，N分別是邊BC，CD上的點，且滿足

| BM |

| BC |

=

| CN |

| CD |

，求

AM

•

AN

的取值范圍．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,向量的模

專題：平面向量及應用

分析：（Ⅰ）首先，根據|2

AB

-

AD

|=

13

，得到|2

AB

-

AD

|²=13，然后，借助于數量積的運算性質求解；
（Ⅱ）直接構造向量關系式，

AM

•

AN

=（

a

+

1

m

b

）•（

m-1

m

b

）=

5m2-2m-1

m2

=-（

1

m

+1）²+6，然后，結合二次函數的知識求解最值．

解答： 解：（Ⅰ）∵|

AD

|=1，|

AB

|=2，|2

AB

-

AD

|=

13

，
∴|2

AB

-

AD

|²=13，
∴4|

AB

|²-4|

AB

||

AD

|cos∠BAD+|

AD

|²=13，
∴cos∠BAD=

1

2

，
∵∠BAD∈[0，π]，
∴∠BAD=

π

3

．
（Ⅱ）建立如圖所示的直角坐標系，則B（2，0），A（0，0），
D（

1

2

，

3

2

），設

| BM |

| BC |

=

| CN |

| CD |

=λ，λ∈[0，1]，
M（2+

λ

2

，

3 λ

2

），N（

5

2

-2λ，

3

2

），
所以

AM

•

AN

=（2+

λ

2

，

3 λ

2

）•（

5

2

-2λ，

3

2

）=-λ²-2λ+5，
因為λ∈[0，1]，二次函數的對稱軸為：λ=-1，
所以λ∈[0，1]時，-λ²-2λ+5∈[2，5]．
∴求

AM

•

AN

的取值范圍[2，5]

點評：本題重點考查了平面向量的基本運算，二次函數的圖象與性質等知識，屬于中檔題．