Question

已知函數f(x)=ax--3ln x,其中a為常數.
(1)當函數f(x)的圖象在點處的切線的斜率為1時,求函數f(x)在上的最小值;
(2)若函數f(x)在區間(0,+∞)上既有極大值又有極小值,求a的取值范圍;
(3)在(1)的條件下,過點P(1,-4)作函數F(x)=x²[f(x)+3lnx-3]圖象的切線,試問這樣的切線有幾條?并求出這些切線方程.

Answer 1

(1) 1-3ln 2   (2) 0<a<    (3) 滿足條件的切線只有一條,其方程為5x+y-1=0.

解:(1)由題可知f′=1,解得a=1,
故f(x)=x--3ln x,∴f′(x)=,
由f′(x)=0得x=2或x=1.
于是可得x∈的下表:

		2	(2,3]
f′(x)	-	0	+
f(x)	↘	1-3ln 2	↗

于是可得f(x)_min="f(2)=1-3ln" 2.
(2)∵f′(x)=a+-= (x>0),
由題可得方程ax²-3x+2=0有兩個不等的正實根,不妨設這兩個根為x₁、x₂,
則
解得0<a<.
(3)由(1)f(x)=x--3ln x,
故F(x)=x³-3x²-2x(x>0),F′(x)=3x²-6x-2(x>0).
設切點為T(x₀,y₀),由于點P在函數F(x)的圖象上,
①當切點T不與點P(1,-4)重合,即當x₀≠1時,由于切線過點P(1,-4),則=3-6x₀-2,
所以-3-2x₀+4=(x₀-1)(3-6x₀-2),
化簡得-3+3x₀-1=0,即(x₀-1)³=0,
解得x₀=1(舍去).
②當切點T與點P(1,-4)重合,即x₀=1時,
則切線的斜率k=F′(1)=-5,
于是切線方程為5x+y-1=0.
綜上所述,滿足條件的切線只有一條,
其方程為5x+y-1=0.