Question

如圖，已知是直角梯形，，，，平面．

(1) 證明：；

(2) 在上是否存在一點，使得∥平面？若存在，找出點，并證明：∥平面；若不存在，請說明理由；

   （3）若，求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）證明見解析（2）存在（3）二面角的余弦值為

解析:

（1）由已知易得，．

    ∵ ， ∴ ，即．

又 ∵ 平面，平面，∴ ．

∵ ，∴ 平面．又∵ 平面，  ∴ ．

 (2) 存在．取的中點為,連結,則∥平面．證明如下：

取的中點為,連結． ∵，， ∴，且，

  ∴四邊形是平行四邊形，即．

   ∵ 平面，∴ 平面.

       ∵分別是的中點，∴ ．

∵  平面，∴ 平面．∵  ，∴平面平面．

∵  平面，∴平面．

（3）如圖，以為坐標原點建立空間直角坐標系，則有，，，，，，， 

     由題意知，平面，所以是平面的法向量．

     設是平面的法向量，

則，即．

所以可設．所以．

結合圖象可知，二面角的余弦值為．