Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在（0，1），此時圓上一點P的位置在（0，0），圓在x軸上沿正向滾動，則當圓滾動到圓心位于C（28，1）時，線段0P所在直線的方程為

y=

1-cos28

28-sin28

x

；往四邊形OAFE內任投一粒石子，則石子落在四邊形內以（2n，1）（n∈Z）為圓心的所有單位圓外的概率為

4-π

4

．

Answer 1

分析：因為圓心運動的距離為28，圓的周長為2π，故考慮單位圓運動的圈數才能確定劣弧PA的長度，采用幾何法或參數方程法解答均可，從而確定P的坐標，即可得出線段OP所在直線的方程．石子落在四邊形內以（2n，1）（n∈Z）為圓心的所有單位圓外的概率屬于幾何概型問題，準確進行圖形面積的計算即可得到答案．

解答：解：連PC，圓心運動的距離為28，圓的周長為2π，設單位圓運動的圈數為n，

PA

=l，
則n•2π+l=28，∴n=4，l=28-8π＜π，故點P在單位圓的左半圓上，
即圓心角∠PCA=

28-8π

1

=28-8π，則∠PCA=28-8π-

π

2

=28-

17

2

π，
∴PB=1•sin（28-

17

2

π）=-cos28，
CB=cos（28-

17

2

π）=sin28．
∴x_P=28-CB=28-sin28，y_P=1+PB=1-cos28．
∴P（28-sin28，1-cos28），
∴k_OP=

1-cos28

28-sin28

，
∴線段0P所在直線的方程為y=

1-cos28

28-sin28

x；
∵圓心每移動2個單位長度后，前后兩圓的位置關系是相切，由圓心的位置為（28，1）可知，
四邊形OAFE內以（2n，1）為圓心的所有單位圓中，相鄰的單位圓均相切，
又向四邊形OAFE內任投一粒石子的概率滿足于幾何概型，
則所求概率P=

28 2 (2×2-π×12)

28×2

=

4-π

4

．
故答案為：y=

1-cos28

28-sin28

x；

4-π

4

．

點評：本題考查了幾何概型，以及直線與圓的方程及位置關系，考查了學生的計算能力，屬于中檔題．