Question

某企業的某種產品產量與單位成本統計數據如下：

月份	1	2	3	4	5	6
產量（千件）	2	3	4	3	4	5
單位成本（元/件）	73	72	71	73	69	68

b=

n i-1 xiyi-n . x . y

n i-1 xi2-n . x 2

，a=

.

y

-b

.

x

（用最小二乘法求線性回歸方程系數公式
注：

n

i-1

xiyi=x₁y₁+x₂y₂+…+x_iy_i+…+x_ny_n，

n

i-1

xi2=x₁²+

x

2 2

+…+x_i²+…+

x

2 n

）
（1）試確定回歸方程；
（2）指出產量每增加1件時，單位成本下降多少？
（3）假定產量為6件時，單位成本是多少？單位成本為70元/件時，產量應為多少件？

Answer 1

分析：（1）根據所給的六組數據寫出六個有序數對，在平面直角坐標系上點出對應的點，得到散點圖，觀察散點圖呈帶狀分布，知產量與單位成本是線性相關．再做出橫標和縱標的平均數，得到這組數據的樣本中心點，求出利用最小二乘法所需要的數據，代入關于b的公式，求出線性回歸方程的系數，再求出a的值，得到回歸方程．
（2）由（1）得到回歸方程知，每增加1 件產量，單位成本下降1.818元．
（3）根據前面得到的回歸方程，當x=6時，求出相應的y的值，再當y=70時，求出相應的x的值．

解答：解：（1）設x表示每月產量（單位：千件），y表示單位成本（單位：元/件），作散點圖．由圖知y與x間呈線性相關關系，設線性回歸方程為y=bx+a．

由公式可求得b≈-1.818，a=77.364，∴回歸方程為y=-1.818x+77.364．
（2）由回歸方程知，每增加1 件產量，單位成本下降1.818元．
（3）當x=6時，y=-1.818×6+77.364=66.455；
當y=70時，70=-1.818x+77.364，得x≈4.051千件．
∴產量為6 件時，單位成本是66.455元/件，單位成本是70元/件時，產量約為4 051件．

點評：本題考查線性回歸方程的求解，本題解題的關鍵是正確求解線性回歸方程的系數，這里的運算比較麻煩，容易出錯．