Question

【題目】已知函數f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx（a∈R）．

（1）若x=是函數f（x）的一個極值點，求實數a的值；

（2）當a＞0時，討論函數f（x）的單調性；

（3）當a＞2且x＞1時，求證：函數f（x）的最小值小于﹣3．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】

（1）利用極值點的導數值為0可得；

（2）求導后，對導函數的兩個零點的大小進行討論；

（3）由（2）知f（x）的最小值為g（a）a+aln，（a＞2），再通過兩次求導可以證明．

（1）函數的導數為：

∴，

依題意有，即，解得：；

（2）∵，

∴當，即時，由，得或；由，得，

故在，上單調遞增，在單調遞減.

當，即時，在上恒成立，故在上單調遞增，

當，即時，由，得或；由，得，

故在，上遞增，在上遞減.

（3）當，且時，由（2）知函數在上遞減，在上遞增，

所以時， ，

令，

則，

則在上恒成立，

所以在上是減函數，所以，

所以在上是減函數，所以，

即函數的最小值小于-3.