Question

定義F（x，y）=（1+x）^y，x，y∈（0，+∞）
（1）令函數f（x）=F（1，log₂（x²-4x+9））的圖象為曲線c₁，曲線c₁與y軸交于點A（0，m），過坐標原點O作曲線c₁的切線，切點為B（n，t）（n＞0）設曲線c₁在點A、B之間的曲線段與OA、OB所圍成圖形的面積為S，求S的值；
（2）當x，y∈N^*且x＜y時，證明F（x，y）＞F（y，x）．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的解析式，求出A的坐標，利用曲線在切點處的導數值是曲線的切線斜率，切點在曲線上，列出方程組求出B的坐標，將曲邊圖象的面積用定積分表示，利用微積分基本定理求出面積．
（2）構造函數h（x），求出其導函數判斷導函數的符號，判斷出h（x）的單調性，利用其單調性得到不等式，利用不等式的性質得證．

解答：解：（1）∵F（x，y）=（1+x）^y
∴f（x）=F（1，log₂（x²-4x+9））=2^log₂（x²-4x+9）=x²-4x+9
故A（0，9）
f'（x）=2x-4，過O作C₁的切線，切點為B（n，t）（n＞0），
∴

t=n2-4n+9 t n =2n-4

解得B（3，6）
∴S=

∫

3 0

(x2-4x+9-2x)dx=(

1

3

x3-3x2+9x)

|

3 0

=9
（2）令h(x)=

ln(1+x)

x

(x≥1)h′(x)=

x 1+x -ln(1+x)

x2

令P(x)=

x

1+x

-ln(1+x)(x＞0)∴P′(x)=

1

(1+x)2

-

1

1+x

=

-x

(1+x)2

＜0
∴P（x）在[0，+∞）單調遞減．
∴當x＞0時，有P（x）＜P（0），
∴當x≥1時有h'（x）＜0∴h（x）在[1，+∞）上單調遞減．
∴1≤x＜y時，有

ln(1+x)

x

＞

ln(1+y)

y

yln（1+x）＞xln（1+y）
∴（1+x）^y＞（1+y）^x
∴當x，y∈N^*且x＜y時，F（x，y）＞F（y，x）

點評：本題考查導數的幾何意義|導數在曲線切點處的值是曲線的切線斜率、利用定積分求曲邊梯形的面積、
利用導數研究函數的單調性、不等式的性質．