Question

定義F（x，y）=（1+x）^y，x，y∈（0，+∞），令函數f（x）=F（1，log₂（x²-4x+9））的圖象為曲線C，曲線C與y軸交于點A（0，m），過坐標原點O向曲線C作切線，切點為B（n，t）（n＞0），設曲線C在點A、B之間的曲線段與線段OA、OB所圍成圖形的面積為S，求S的值．

Answer 1

分析：欲求圍成圖形的面積，利用定積分計算面積，故先要求出被積函數及積分上下限．所以要求出在切點處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導數求出在x=n處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．

解答：解：∵F（x，y）=（1+x）^y
∴f（x）=F（1，log₂（x²-4x+9））=2^log_2（x^2_-4x+9）=x²-4x+9，
故A（0，9），
又過坐標原點O向曲線C作切線，
切點為B（n，t）（n＞0），f′（x）=2x-4．
∴

t=n2-4n+9 t n =2n-4

，
解得B（3，6），
∴S=

∫

3 0

(x2-4x+9-2x)dx=(

x3

3

-3x29x)

|

3 0

=9．

點評：本小題主要考查直線的斜率、導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程、定積分在求面積中的應用等基礎知識，考查運算求解能力．屬于基礎題．