Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，，分別為橢圓的左、右焦點．動直線過點，且與橢圓相交于，兩點（直線與軸不重合）．

（1）若點的坐標為，求點坐標；

（2）點，設直線，的斜率分別為，，求證：；

（3）求面積最大時的直線的方程．

Answer 1

【答案】(1) (2)見證明；(3)

【解析】

（1）由已知得到直線l的方程，與橢圓方程聯立即可求得點B的坐標；

（2）設直線l的方程為x＝ty+1，與橢圓方程聯立，利用根與系數的關系及斜率公式即可證明k1+k2＝0；

（3）△AF1B的面積S|F1F2||y1﹣y2|＝|y1﹣y2|．把（2）中的根與系數的關系代入，可得S．設函數f（x）＝9x （x≥1），利用導數可得f（x）＝9x在[1，+∞）上單調遞增，得到當t2+1＝1，即t＝0時，9（t2+1）取最小值10．由此可得直線l的方程為x＝1．

（1）因為直線經過點， ，

所以直線的方程為．

由解得或

所以．

（2）因為直線與軸不重合，故可設直線的方程為．

設，．

由得，

所以， ，

因為，在直線上，所以， ，

所以， ，

從而 ．

因為，

所以．

（3）方法一：的面積 .

由（2）知， ， ，

故

，

設函數．

因為，所以在上單調遞增，

所以當，即時，取最小值10．

即當時，的面積取最大值，此時直線的方程為．

方法二：的面積 ．

由（2）知， ， ，

故

，

因為，所以，

所以，即時，的面積取最大值．

因此，的面積取最大值時，直線的方程為．