Question

如圖，在雙曲線

y2

12

-

x2

13

=1的上支上有三點A（x₁，y₁），B（x₂，6），C（x₃，y₃），它們與點F（0，5）的距離成等差數列．
（1）求y₁+y₃的值；
（2）證明：線段AC的垂直平分線經過某一定點，并求此點坐標．

Answer 1

分析：（1）求出焦點坐標和準線方程，依據雙曲線第二定義有|FB|=e|BB₁|，|FA|=e|AA₁|，|FC|=e|CC₁|，代入
2|FB|=|FA|+|FC|得，2|BB₁|=|AA₁|+|CC₁|，即2（6-

12

5

）=y1-

12

5

+y3-

12

5

，求出y₁+y₃ 的值．
（2） 用點斜式求出 線段AC的中垂線的方程 為 y-6=-

x3 -x1

y3-y1

（x-

x1+x3

2

） ①，
 把

y12

12

-

x12

13

=1，

y32

12

-

x32

13

=1，相減得 

12(y1-y3)

12

=

x12-x32

13

，
可得x₁²-x₃²=13（y₁-y₃），代入①得  y=-

x3 -x1

y3-y1

x+

25

2

，顯然過定點（0，

25

2

）．

解答：（1）解：c=

12+13

=5，故F為雙曲線的焦點，設F對應準線為l，則l的方程 y=

12

5

，離心率為e=

c

a

=

5

12

，
由題設有2|FB|=|FA|+|FC|．①分別過A、B、C作x軸的垂線AA₂、BB₂、CC₂，交l于A₁、B₁、C₁，
則由雙曲線第二定義有|FB|=e|BB₁|，|FA|=e|AA₁|，|FC|=e|CC₁|，代入①式，得 2e|BB₁|=e|AA₁|+e|CC₁|，
即2|BB₁|=|AA₁|+|CC₁|．∴2（6-

12

5

）=y1-

12

5

+y3-

12

5

，∴y₁+y₃=12．
（2）證明：線段AC中點D（

x1+x3

2

，6），線段AC的斜率為

y3 -y1

x3-x1

，
∴線段AC的中垂線的斜率為-

x3 -x1

y3-y1

，∴線段AC的中垂線的方程為 y-6=-

x3 -x1

y3-y1

（x-

x1+x3

2

） ①，
 又A、C在雙曲線上，∴

y12

12

-

x12

13

=1，

y32

12

-

x32

13

=1，相減得 

12(y1-y3)

12

=

x12-x32

13

，
∴x₁²-x₃²=13（y₁-y₃），代入①得  線段AC的中垂線的方程為 y=-

x3 -x1

y3-y1

x+

25

2

，
顯然過定點（0，

25

2

）．

點評：本題考查雙曲線的定義和雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用，等差數列的定義．