Question

如圖，在雙曲線-=1的上支上有三點A（x₁，y₁），B（x₂，6），C（x₃，y₃），它們與點F（0，5）的距離成等差數列．
（1）求y₁+y₃的值；
（2）證明：線段AC的垂直平分線經過某一定點，并求此點坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出焦點坐標和準線方程，依據雙曲線第二定義有|FB|=e|BB₁|，|FA|=e|AA₁|，|FC|=e|CC₁|，代入
2|FB|=|FA|+|FC|得，2|BB₁|=|AA₁|+|CC₁|，即2（6-）=+，求出y₁+y₃ 的值．
（2） 用點斜式求出 線段AC的中垂線的方程 為 y-6=-（x-） ①，
 把 ，，相減得 ，
可得x₁²-x₃²=13（y₁-y₃），代入①得  y=-x+，顯然過定點（0，）．
解答：（1）解：c==5，故F為雙曲線的焦點，設F對應準線為l，則l的方程 y=，離心率為e==，
由題設有2|FB|=|FA|+|FC|．①分別過A、B、C作x軸的垂線AA₂、BB₂、CC₂，交l于A₁、B₁、C₁，
則由雙曲線第二定義有|FB|=e|BB₁|，|FA|=e|AA₁|，|FC|=e|CC₁|，代入①式，得 2e|BB₁|=e|AA₁|+e|CC₁|，
即2|BB₁|=|AA₁|+|CC₁|．∴2（6-）=+，∴y₁+y₃=12．
（2）證明：線段AC中點D（，6），線段AC的斜率為 ，
∴線段AC的中垂線的斜率為-，∴線段AC的中垂線的方程為 y-6=-（x-） ①，
 又A、C在雙曲線上，∴，，相減得 ，
∴x₁²-x₃²=13（y₁-y₃），代入①得  線段AC的中垂線的方程為 y=-x+，
顯然過定點（0，）．
點評：本題考查雙曲線的定義和雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用，等差數列的定義．