Question

已知函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012121811141356107336/SYS201212181115068266289787_ST.files/image002.png">，對(duì)于任意的，都有，且當(dāng)時(shí)，，若.

（1）求證：為奇函數(shù)；

（2）求證:是上的減函數(shù)；

（3）求函數(shù)在區(qū)間上的值域.

 

Answer 1

【答案】

(1)證明：見(jiàn)解析；

（2）證明：見(jiàn)解析；（3）函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012121811141356107336/SYS201212181115068266289787_DA.files/image003.png">.

【解析】（1）賦值求出，即證出為奇函數(shù)；（2）利用函數(shù)單調(diào)性定義和奇函數(shù)證出是上的減函數(shù)；（3）由（2）得函數(shù)在區(qū)間上的最大值是；最小值是.

(1)證明：的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012121811141356107336/SYS201212181115068266289787_DA.files/image006.png">,令,則， 令,則，即.

，故為奇函數(shù).     4分

（2）證明：任取且,

則 

又，，，

即.

故是上的減函數(shù).        8分

（3）解:

又為奇函數(shù),

由(2)知是上的減函數(shù),

所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為；

當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為. 11分

所以函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012121811141356107336/SYS201212181115068266289787_DA.files/image003.png">.      12分