Question

【題目】已知函數f（x）=x3+ax2+bx+c，下列結論中錯誤的是（ ）
A.xα∈R，f（xα）=0
B.函數y=f（x）的圖象是中心對稱圖形
C.若xα是f（x）的極小值點，則f（x）在區間（﹣∞，xα）單調遞減
D.若xα是f（x）的極值點，則f′（xα）=0

Answer 1

【答案】C
【解析】解：f′（x）=3x2+2ax+b．
（1）當△=4a2﹣12b＞0時，f′（x）=0有兩解，不妨設為x1＜x2 ， 列表如下

x	（﹣∞，x1）	x1	（x1 ， x2）	x2	（x2 ， +∞）
f′（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增

由表格可知：
①x2是函數f（x）的極小值點，但是f（x）在區間（﹣∞，x2）不具有單調性，故C不正確．
②∵ +f（x）= +x3+ax2+bx+c= ﹣ +2c，
= ，
∵ +f（x）= ，
∴點P 為對稱中心，故B正確．
③由表格可知x1 ， x2分別為極值點，則 ，故D正確．
④∵x→﹣∞時，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→+∞，函數f（x）必然穿過x軸，即xα∈R，f（xα）=0，故A正確．
（2）當△≤0時， ，故f（x）在R上單調遞增，①此時不存在極值點，故D正確，C不正確；
②B同（1）中②正確；
③∵x→﹣∞時，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→+∞，函數f（x）必然穿過x軸，即xα∈R，f（xα）=0，故A正確．
綜上可知：錯誤的結論是C．
由于該題選擇錯誤的，故選：C．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解命題的真假判斷與應用的相關知識，掌握兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系，以及對函數的極值的理解，了解極值反映的是函數在某一點附近的大小情況．