Question

已知函數f（x）=a+bsin2x+ccos2x的圖象經過點A（0，1），B（

π

4

，1），且當x∈[0，

π

4

]時，f（x）取得最大值2

2

-1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）是否存在向量m，使得將f（x）的圖象按向量m平移后可以得到一個奇函數的圖象？若存在，求出滿足條件的一個m；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數f（x）=a+bsin2x+ccos2x的圖象經過點A（0，1），B（

π

4

，1），結合 當x∈[0，

π

4

]時，f（x）取得最大值2

2

-1我們易求出a，b，c的值，進而求出f（x）的解析式；
（Ⅱ）由已知中f（x）的解析式，根據正弦型函數的性質，可以求出他的圖象的對稱中心，將其對稱中心平移到原點即可得到一個奇函數的圖象，由此可得答案．

解答：解：（Ⅰ）由題意知

a+c=1 a+b=1

（2分）
∴b=c=1-a，
∴f（x）=a+

2

（1-a）sin（2x+

π

4

）．（1分）
∵x∈[0，

π

4

]，
∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]．（1分）
當1-a＞0時，
由a+

2

（1-a）=2

2

-1，
解得a=-1；    （2分）
當1-a＜0時，
a+

2

（1-a）•

2

2

=2

2

-1，無解； （1分）
當1-a=0時，a=2

2

-1，相矛盾．（1分）
綜上可知a=-1．（2分）
（Ⅱ）g(x)=2

2

sin2x是奇函數，將g（x）的圖象向左平移

π

8

個單位，再向下平移一個單位就可以得到f（x）的圖象．因此，將f（x）的圖象向右平移

π

8

個單位，再向上平移一個單位就可以得到奇函數g(x)=2

2

sin2x的圖象．故

m

=(

π

8

，1)是滿足條件的一個向量．（4分）

點評：本題考查的知識點是三角函數的最值，正弦函數的圖象和性質，其中（1）中要注意對1-a＞0時的符合進行分類討論，盡管對答案無影響，但在題目答案的嚴謹性方面還是必要的．