Question

已知橢圓

x2

a

+

y2

b

=1(a＞b＞0)過點(1，

3

2

)，且離心率為

1

2

，A、B是橢圓上縱坐標不為零的兩點，若

AF

=λ

FB

(λ∈R)，且|

AF

|≠|

FB

|，其中F為橢圓的左焦點．
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求A、B兩點的對稱直線在y軸上的截距的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因為橢圓的離心率為

1

2

，所以

c

a

=

1

2

，因為橢圓過（1，

3

2

），所以把（1，

3

2

）代入橢圓方程成立，再根據a，b，c的關系式，就可解出a，b的值，求出橢圓的方程．
（Ⅱ）先設出AB方程，與橢圓方程聯立，求A，B點橫坐標之和，縱坐標之和，再用A，B點坐標表示AB中點坐標，根據線段AB的垂直平分線過AB中點，且垂直AB，斜率是AB斜率的負倒數，即可寫出線段AB的垂直平分線方程，再令x=0，得到縱截距，用均值不等式求范圍即可．

解答：解：（Ⅰ）由已知得，

12 a2 + ( 3 2 )2 b2 =1 c a = 1 2 a2=b2+c2

，解得a²=4，b²=3
∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1
（Ⅱ）A，B是橢圓上縱坐標不為零的兩點，

AF

=λ

FB

(λ∈R)
∴A，F，B三點共線，且直線AB的斜率存在且不為0
又F（-1，0），可記AB方程為y=k（x+1），代入橢圓的方程，化簡，得
（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，顯然△＞0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點為M（x₀，y₀），
則x₀=

x1+x2

2

=

-4k2

3+4k2

，y₀=k（x₀+1）=

3k

3+4k2

直線AB的垂直平分線方程為y-y₀=-

1

k

（x-x₀）
令x=0，得，y=-

k

3+4k2

=-

1

4k+ 3 k

∵|4k+

3

k

|≥4

3

，當且僅當|k|=

3

2

時取“=“
∴4k+

3

k

≥4

3

或4k+

3

k

≤-4

3

∴線段AB的垂直平分線在y軸上的截距的取值范圍為[-

3

12

，0]∪（0，

3

12

]．

點評：本題考查了橢圓方程的求法，以及橢圓與不等式相結合求范圍，做題時要細心．