Question

已知中心在原點，頂點A₁、A₂在x軸上，離心率為的雙曲線經過點P(6，6)．

　　(1)求雙曲線的方程；

　　(2)動直線l經過△A₁PA₂的重心G，與雙曲線交于不同的兩點M、N，問是否存在直線l使G平分線段MN，試證明你的結論．

Answer 1

答案：
解析：

(1)設雙曲線的方程為 　　， 　　據已知，得，∴　 　　∴　所求雙曲線的方程為． (2)∵　P(6，6)，A1(-3，0)，A2(3，0)． 　∴　G點的坐標為(2，2)，假設存在直線l使G(2，2)平分線段MN，設M、N點的坐標分別為(x1，y1)、(x2，y2)，則有 　　 　　①-②得12(-)=9(-)， 　　將，代入得 　　=kMN=k1， 　　∴　l的方程為 　　由，消去y，整理得， 　　x2-4x＋28=0，∵　D=(-4)2-4×28＜0， 　　∴　所求直線l不存在．