Question

如圖，過曲線：上一點作曲線的切線交軸于點，又過作 軸的垂線交曲線于點，然后再過作曲線的切線交軸于點，又過作軸的垂線交曲線于點，，以此類推，過點的切線 與軸相交于點，再過點作軸的垂線交曲線于點（N）．

(1) 求、及數列的通項公式；
(2) 設曲線與切線及直線所圍成的圖形面積為，求的表達式；
(3) 在滿足(2)的條件下, 若數列的前項和為，求證：N.

Answer 1

(1) 解:由，設直線的斜率為，則.
∴直線的方程為.令，得，          ……2分
∴， ∴.
∴.
∴直線的方程為.令，得.        ……4分
一般地，直線的方程為，
由于點在直線上，
∴.
∴數列是首項為，公差為的等差數列.
∴.                                             ……6分
（2）解：
.      ……8分
（3）證明：.…10分
∴，.
要證明，只要證明，即只要證明。 11分
證法1：（數學歸納法）
① 當時，顯然成立；
② 假設時，成立，
則當時，，
而.
∴.
∴.
這說明，時，不等式也成立.
由①②知不等式對一切N都成立.       ……14分
證法2:
.
∴不等式對一切N都成立.       ……14分
證法3:令,
則,
當時, ,
∴函數在上單調遞增.
∴當時, .
∵N,
∴, 即.
∴.
∴不等式對一切N都成立.  

略