Question

已知數列{a_n}的前n項和為Sn=

n(n+1)

2

，數列{b_n}滿足條件：b₁=1，b_n-b_n-1=2^n-1（n≥2）．
（1）求{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）求數列{a_nb_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）直接根據數列的前n項和與通項之間的關系即可求出{a_n}的通項公式；再結合b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）以及等比數列的求和公式即可求出{b_n}的通項公式；
（2）先根據上面的結論求出數列{a_nb_n}的通項公式；再對其中的一部分利用錯位相減求和，最后結合等差數列的求和公式求出另一部分即可得到結論．

解答：解：（1）因為數列{a_n}的前n項和為Sn=

n(n+1)

2

，
所以有：a₁=S₁=1，a_n=S_n-S_n-1=n（n≥2），
所以a_n=n．
而數列{b_n}滿足條件：b₁=1，b_n-b_n-1=2^n-1（n≥2）．
故b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）=1+2+2²+…+2^n-1=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1；
（2）由（1）得：a_nb_n=n2ⁿ-n．
令U_n=1×2+2×2²+3×2³+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ…..①
所以：2U_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹   …②
①-②得-U_n=2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n×2ⁿ⁺¹=（1-n）2ⁿ⁺¹-2；
∴U_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．
所以，T_n=U_n-

n(n+1)

2

=（n-1）2ⁿ⁺¹-

n(n+1)

2

+2．

點評：本題主要考查由遞推公式推導數列的通項公式以及數列的前n項和與通項之間的關系求數列的通項，其中滲透了數列求和的錯位相減法這一知識點，屬于綜合題目．