Question

如圖，P-AD-C是直二面角，四邊形ABCD是∠BAD=120°的菱形，AB=2，PA⊥AD，E是CD的中點，設PC與平面ABCD所成的角為45°．
（1）求證：平面PAE⊥平面PCD；
（2）試問在線段AB（不包括端點）上是否存在一點F，使得二面角A-PE-D的大小為45⁰？若存在，請求出AF的長，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）證明PA⊥面ABCD，可得PA⊥CD，再證明AE⊥CD，從而可得CD⊥平面PAE，利用面面垂直的判定，可得平面PAE⊥平面PCD；
（2）解法1：以A為坐標原點，AB、AE、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，求出平面PFD的法向量

n1

=(1，

λ+1

3

，

λ

2

)，平面APF的法向量為

n2

=（0，1，0），利用二面角A-PE-D的大小為45°，結合向量的夾角公式，即可求得結論；
解法2：設AF=x，延長BA，過點D作BA延長線的垂線DH，垂足為H，過H作PF的垂線HO，O為垂足，再連接D0，可得∠HOD就為二面角A-PF-D的平面角，利用二面角A-PF-D的大小為45°，建立方程，即可求得結論．

解答：（1）證明：因為PA⊥AD，二面角P-AD-C是直二面角，所以PA⊥面ABCD，
因為DC?面ABCD，所以PA⊥CD．
連接AC，
因為ABCD為菱形，∠BAD=120°，所以∠CAD=60°，∠ADC=60°，
所以△ADC是等邊三角形．
因為E是CD的中點，所以AE⊥CD，
因為PA∩AE=A，所以CD⊥平面PAE，而CD?平面PCD，所以平面PAE⊥平面PCD．…（5分）
（2）解法1：以A為坐標原點，AB、AE、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系．

因為PA⊥面ABCD，所以∠PCA是PC與面ABCD所成角，所以∠PCA=45°，所以PA=AC=AB=2，
于是P（0，0，2），D（-1，

3

，0），

PD

=(-1，

3，-2

)．
設AF=λ，則0＜λ＜2，F（λ，0，0），所以

PF

=（λ，0，-2）．…（7分）
設平面PFD的法向量為

n1

=(x，y，z)，則有

n1

•

PD

=0，

n1

•

PF

=0，∴

-x+ 3y -2z=0 λx-2z=0

令x=1，則z=

λ

2

，y=

λ+1

3

，所以平面PFD的法向量為

n1

=(1，

λ+1

3

，

λ

2

)．
而平面APF的法向量為

n2

=（0，1，0）…（9分）
所以|cos＜

n1

，

n2

＞|=

2|λ+1|

7λ2+8λ+16

=

2

2

，
整理得λ²+8λ-8=0，解得λ=2

6

-4或λ=-2

6

-4舍去．…（11分）
因為0＜2

6

-4＜2，所以在AB上存在一點F，使得二面角A-PF-D的大小為45°，此時AF=2

6

-4．…（12分）
解法2：設AF=x，延長BA，過點D作BA延長線的垂線DH，垂足為H．
由于DH⊥AB，PA⊥DH，且PA∩AB=A，故DH⊥平面PAB…（6分）
過H作PF的垂線HO，O為垂足，再連接D0，可得：D0⊥PF，則∠HOD就為二面角A-PF-D的平面角．…（7分）
在Rt△ADH中，求得：AH=1，DH=

3

…（8分）
在Rt△FOD中，FH=AF+AH=x+1，OH=

2(1+x)

4+x2

…（9分）
在Rt△HOD中，當∠HOD=45°，則有：OH=DH，此時：

2(1+x)

4+x2

=

3

，解得：x=2

6

-4…（12分）
所以在AB上存在一點F，使得二面角A-PF-D的大小為45°，此時AF=2

6

-4．…（12分）

點評：本題考查線面垂直、面面垂直、考查面面角，考查利用空間向量解決立體幾何問題，屬于中檔題．