Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面的菱形，∠BCD=60°，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，AC與DE交于點(diǎn)O，PO⊥平面ABCD，
（1）求證：PD⊥BC；
（2）若AB=6

3

，PC=6

2

，求二面角P-AD-C的大小；
（3）在（2）的條件下，求異面直線PB與DE所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）連接DB，DE⊥BC而PO⊥平面ABCD，則OD是斜邊PD在底面ABCD內(nèi)的射影，根據(jù)三垂線定理可知PD⊥BC；
（2）根據(jù)二面角平面角的定義可知∠PDO為二面角P-AD-C的平面角，在Rt△POD中，求出∠PDO即可；
（3）取AD中點(diǎn)H，連接HB，HP則HB∥DE，HB與PB所成的角既是DE與PBD所成角，連接OH，OB，在Rt△DOH中，求出OH，在Rt△PHO中，求出PH，在Rt△POB中，求出PB，設(shè)HB與PB所成角為α，利用余弦定理可求出此角．

解答：解：（1）證明：在菱形ABCD中，連接DB則△BCD是等邊三角形．
點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)
∴DE⊥BC
∵PO⊥平面ABCD
∴OD是斜邊PD在底面ABCD內(nèi)的射
∴PD⊥BC

（2）解：由（1）知DE⊥BC
菱形ABCD中AD∥BC∴DE⊥AD有∵PO⊥平面ABCD
DE是PD在平面ABCD的射影
∴PD⊥AD
∴PDO為二面角P-AD-C的平面角
菱形ABCD中，AD⊥DE
由（1）知△BCD為等邊三角形
∵點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)AC與BD互相平分
∴點(diǎn)O是△BCD重心∵AB=

6	3

又∵在等邊△BCD中，
DO=

2

3

DE=

2

3

3

2

BC=

3

3

•

6	3

=6
∴OC=OD=6∵PC=

6	2

∴PO=6
∴在Rt△POD中，tan∠PDO=

PO

DO

=

6

6

=1∴∠PDO=

π

4

∴二面角P-AD-C的大小為

π

4

（3）解：取AD中點(diǎn)H，連接HB，HP則HB∥DE
∴HB與PB所成的角既是DE與PBD所成角
連接OH，OB
∵PO⊥平面ABCD，OH，OB?平面ABCD
∴PO⊥OH，PO⊥OB
在Rt△DOH中，HD=3

3

OD=6
∴OH=3

7

在Rt△PHO中，PH=

PO2+OH2

=

99

在Rt△POB中，OB=OC=6，PB=

PO2+OB2

=6

2

由（2）可知DE=HB=9
設(shè)HB與PB所成角為α
則cosα=

HB2+PB2-PH2

2HBPB

=

2

4

異面直線PB，DE所成角的余弦值為

2

4

點(diǎn)評(píng)：求二面角，關(guān)鍵是構(gòu)造出二面角的平面角，常用的方法有利用三垂線定理和通過(guò)求法向量的夾角，然后再將其轉(zhuǎn)化為二面角的平面角．