Question

【題目】一款擊鼓小游戲的規則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓后要么出現一次音樂，要么不出現音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現三次音樂獲得150分，出現兩次音樂獲得100分，出現一次音樂獲得50分，沒有出現音樂則獲得-300分.設每次擊鼓出現音樂的概率為，且各次擊鼓出現音樂相互獨立.

（1）若一盤游戲中僅出現一次音樂的概率為，求的最大值點；

（2）以（1）中確定的作為的值，玩3盤游戲，出現音樂的盤數為隨機變量，求每盤游戲出現音樂的概率，及隨機變量的期望；

（3）玩過這款游戲的許多人都發現，若干盤游戲后，與最初的分數相比，分數沒有增加反而減少了.請運用概率統計的相關知識分析分數減少的原因.

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）見解析.

【解析】

（1）根據獨立重復試驗中概率計算,可得僅出現一次音樂的概率.然后求得導函數,并令求得極值點.再根據的單調情況,求得的最大值.

（2）由（1）可知,.先求得不出現音樂的概率, 由對立事件概率性質即可求得出現音樂的概率.結合二項分布的期望求法,即可得隨機變量的期望;

（3）求得每個得分的概率,根據公式即可求得得分的數學期望.構造函數,利用導函數即可證明數學期望為負數,即可說明分數變少.

（1）由題可知,一盤游戲中僅出現一次音樂的概率為：

,

由得或（舍）

當時,；

當時,,

∴在上單調遞增,在上單調遞減,

∴當時,有最大值,即的最大值點；

（2）由（1）可知,

則每盤游戲出現音樂的概率為

由題可知

∴；

（3）由題可設每盤游戲的得分為隨機變量,則的可能值為-300,50,100,150；

∴；

；

；

；

∴

；

令,則；

所以在單調遞增；

∴；

即有；

這說明每盤游戲平均得分是負分,由概率統計的相關知識可知：經過若干盤游戲后,與最初的分數相比,分數沒有增加反而會減少.