Question

(1)用二項式定理證明11¹⁰-1能被100整除.

(2)求91⁹²被100除所得的余數.

Answer 1

思路分析:解決利用二項式定理證明整除問題關鍵是判斷所證式子與除數之間的聯系，要掌握好對式子的拆分，如本例的第（1）小題，可以利用11¹⁰=（10+1）¹⁰展開式進行證明，第（2）小題則可利用91⁹²=(100-9)⁹²展開式,或利用(90+1)⁹²展開式進行求解.

（1）證明：∵11¹⁰-1=(10+1)¹⁰-1=(10¹⁰+·10⁹+…+·10+1)-1

=10¹⁰+·10⁹+·10⁸+…+10²

=100(10⁸+·10⁷+·10⁶+…+1).

∴11¹⁰-1能被100整除.

(2)解法一：(100-9)⁹²=·100⁹²-·100⁹¹·9+·100⁹⁰·9²-…+9⁹²,

展開式中前92項均能被100整除，只需求最后一項除以100的余數.

∵9⁹²=(10-1)⁹²=·10⁹²-·10⁹¹+…+·10²-·10+1,

前91項均能被100整除,后兩項和為-919,因余數為正,可從前面的數中分離出1 000,結果為1 000-919=81,

故91⁹²被100除可得余數為81.

解法二:(90+1)⁹²=·90⁹²+·90⁹¹+…+·90²+·90+.

前91項均能被100整除,剩下兩項和為92×90+1=8 281,顯然8 281除以100所得余數為81.

綠色通道：利用二項式定理可以求余數和整除性問題,通常需將底數化成兩數的和與差的形式,且這種轉化形式與除數有密切的關系.

黑色陷阱：出現余數為負數的情況.余數不可能為負,如本題中余數的范圍是(0,100).