Question

（1）化簡[(a-

3

2

b2)-1(ab-3)

1

2

(b

1

2

)7]

1

3

．
（2）解

1

6

lgx=

1

3

lga+2lgb+lgc．
（3）用二項式定理計算（3.02）⁴，使誤差小于千分之一．
（4）試證直角三角形弦上的半圓的面積，等于勾上半圓的面積與股上半圓的面積的總和．
（5）已知球的半徑等于r，試求內接正方形的體積．
（6）已知a是三角形的一邊，β及γ是這邊的兩鄰角，試求另一邊b的計算公式．

Answer 1

分析：（1）利用分數指數冪的運算法則直接化簡[(a-

3

2

b2)-1(ab-3)

1

2

(b

1

2

)7]

1

3

．即可．
（2）利用對數的性質，直接求解

1

6

lgx=

1

3

lga+2lgb+lgc．
（3）用二項式定理計算（3.02）⁴=（3+0.02）⁴得到它的展開式，誤差小于千分之一．求出到第三項為止即可．
（4）試證直角三角形弦上的半圓的面積，等于勾上半圓的面積與股上半圓的面積的總和．
（5）已知球的半徑等于r，求出內接正方體的棱長，即可求出內接正方形的體積．
（6）已知a是三角形的一邊，β及γ是這邊的兩鄰角，直接利用正弦定理求另一邊b的計算公式．

解答：（1）解：原式=(a

3

2

b-2a

1

2

b-

3

2

b

7

2

)

1

3

=(a2b0)

1

3

=a

2

3

．
（2）解：x=a²b¹²c⁶．
（3）解：

(3.02)4=(3+ 2 100 )4

=

34+4•33• 2 100 +6•32•( 2 100 )2+4•3•( 2 100 )3+( 2 100 )4

可知第四項之值已小于0.001，所以，
計算可到第三項為止，其誤差必小于千分之一
（3.02）⁴=81+2.16+0.0216=83.182．
（4）證：由c²；；=a²+b²
∴弦上半圓的面積
=

1

2

π(

c

2

)2=

1

2

π

a2+b2

4

=

1

2

π(

a

2

)2+

1

2

π(

b

2

)2
=勾上半圓的面積+股上半圓的面積．
（5）解：內接正方體的中心即該球的球心
正方體過中心的對角線為該球的直徑，
故其長為2r若設內接正方體的邊長為a，
則有3a²=4r²，

a= 2 3 3 r

．
∴內接正方體的體積a³=(

2

3

3

r)3=

8

9

3

r3
（6）解：由正弦定理可知

a

sin[180°-(β-γ)]

=

b

sinβ

∴b=

asinβ

sin[180°-(β-γ)]

=

asinβ

sin(β+γ)

．

點評：本題是基礎題，考查分數指數冪的運算法則，對數方程的運算法則，二項式定理的應用，球的內接正方體的體積，正弦定理，考查計算能力．