【題目】已知三次函數
，下列命題正確的是 .
①函數
關于原點
中心對稱；
②以
，
兩不同的點為切點作兩條互相平行的切線，分別與交于
兩點，則這四個點的橫坐標滿足關系
；
③以
為切點，作切線與圖像交于點
，再以點為切點作直線與圖像交于點
，再以點作切點作直線與圖像交于點
，則點橫坐標為
；
④若
，函數圖像上存在四點
，使得以它們為頂點的四邊形有且僅有一個正方形.
【答案】①②④
【解析】試題分析：①函數滿足
是奇函數，所以關于原點（0,0）成中心對稱，正確；②因為
，根據切線平行，得到
,所以
,根據①可知，
,以點A為切點的切線方程為
,整理得：
,該切線方程與函數
聯立可得，
,所以
,同理：
,又因為，代入關系式可得
，正確；③由②可知，以
為切點，作切線與
圖像交于點
，再以點為切點作直線與圖像交于點
，再以點作切點作直線與圖像交于點
，此時滿足
，
,
, 所以
，所以③錯誤；④當函數為
，設正方形ABCD的對角線AC所在的直線方程為
，設正方形ABCD的對角線BD所在的直線方程為
，
，解得：
，所以
，
同理：
，因為
所以
，設
，即
，
，當
時，
，等價于
，解得
，
或
，
，所以正方形唯一確定，故正確選項為①②④.
【難點點睛】本題的難點是②和④，計算量都比較大，②的難點是過點A的切線方程與函數方程聯立，得到交點C的坐標，這個求交點的過程需要計算能力比較好才可以求解出結果；④的難點是需根據正方形的幾何關系，轉化為代數運算，這種化歸與轉化會讓很多同學感覺無從下手，同時運算量也比較大，稍有疏忽，就會出錯，所以平時訓練時，帶參數的化簡需所練習.
尖子生新課堂課時作業系列答案
英才計劃同步課時高效訓練系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓x2+y2-6x-8y+21=0和直線kx-y-4k+3=0.
(1)若直線和圓總有兩個不同的公共點，求k的取值集合
(2)求當k取何值時，直線被圓截得的弦最短，并求這最短弦的長.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某企業共有20條生產線，由于受生產能力和技術水平等因素的影響，會產生一定量的次品.根據經驗知道，每臺機器產生的次品數
萬件與每臺機器的日產量
萬件
之間滿足關系： 
.已知每生產1萬件合格的產品可以以盈利3萬元，但每生產1萬件次品將虧損1萬元.
（Ⅰ）試將該企業每天生產這種產品所獲得的利潤
表示為
的函數；
（Ⅱ）當每臺機器的日產量為多少時，該企業的利潤最大，最大為多少？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某企業共有20條生產線，由于受生產能力和技術水平等因素的影響，會產生一定量的次品.根據經驗知道，每臺機器產生的次品數
萬件與每臺機器的日產量
萬件
之間滿足關系：
.已知每生產1萬件合格的產品可以以盈利3萬元，但每生產1萬件次品將虧損1萬元.
（Ⅰ）試將該企業每天生產這種產品所獲得的利潤
表示為
的函數；
（Ⅱ）當每臺機器的日產量為多少時，該企業的利潤最大，最大為多少？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，
，動點
滿足
（
且
）.
（1）求動點
的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線；
（2）若
，點
為動點
的軌跡曲線上的任意一點，過點
作圓：
的切線，切點為
.試探究平面內是否存在定點
，使
為定值，若存在，請求出點
的坐標，若不存在，請說明理由.
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