Question

下圖是一個按照某種規則排列出來的三角形數陣

 假設第n行的第二個數為a_n（n≥2，n∈N^*）
（1）依次寫出第六行的所有6個數字（不必說明理由）；
（2）寫出a_n+1與a_n的遞推關系式（不必證明），并求出a_n的通項公式a_n（n≥2，n∈N^*）；
（3）設bn=

1

an

，求證：b₂+b₃+…+b_n＜2．

Answer 1

分析：（1）仔細觀察三角形數陣的排列規則直接寫出第六行所有數字即可；
（2）仔細觀察數陣可發現其排列規律，根據規律可求出a_n+1與a_n的遞推關系式，然后便可求出a_n的通項公式；
（3）由b_n=

1

an

，解得 bn=

2

n2-n+2

＜

2

n2-n

=2(

1

n-1

-

1

n

)再由裂項相消法證明．

解答：解：（1）仔細觀察三角形數陣可以知道第六行的所有數字應該為6，17，25，25，17，6
設第n行的第m個數為P（n，m）
（2）仔細觀察三角形數陣可以發現：設第n行的第2個數字a_n等于第n-1行第一個數字n與第二個數字a _n-1之和，
即a_n=a_n-1+（n-1），
由此可知：a_n+1=a_n+n，即a_n+1-a_n=n．
a_n-a_n-1=n-1，
a_n-1-a_n-2=n-2，
…，
a₄-a₃=3，
a₃-a₂=2，
將上式相加可得a_n-a₂=n-1+n-2+…+3+2=

(n-2)(n+1)

2

，
a_n=a₂+=

(n-2)(n+1)

2

=2+

(n-2)(n+1)

2

，
∴a_n的通項公式為 an=

1

2

n2-

1

2

n+1   (n≥2)；
（3）因為b_n=

1

an

，所以 bn=

2

n2-n+2

＜

2

n2-n

=2(

1

n-1

-

1

n

)（12分）
b2+b3+b4++bn＜2[(

1

1

-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)++(

1

n-1

-

1

n

)]=2(1-

1

n

)＜2．

點評：本題考查了數列的遞推公式以及數列的求和，學生的計算能力、觀察能力和對數列的綜合掌握，解題時注意整體思想和轉化思想的運用，是各地高考的熱點，屬于中檔題．