Question

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數方程為為參數，，直線的參數方程為 為參數）．

（1）若與相交，求實數的取值范圍；

（2）若，設點在曲線上，求點到的距離的最大值，并求此時點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大值為，此時點坐標為.

【解析】

（1）利用參數方程與普通方程的互化公式求出曲線和直線的普通方程，將與的方程聯立得到關于的一元二次方程，根據題意，利用方程的判別式求解即可；

（2）由（1）可知的普通方程，設點，利用點到直線的距離公式和輔助角公式求出點到的距離的最大值，結合之間的關系，利用誘導公式求出此時的值即可求出點的坐標.

（1）由題意可知，曲線的普通方程為，

直線的普通方程為，

將與的方程聯立，得，

因為與相交，所以，

整理得，解得，

所以實數的取值范圍是．

（2）當時，的普通方程為 ，

設點，則點到的距離為

，

其中，又因為，

所以當即時，，

所以，

，所以．