Question

【題目】直角坐標(biāo)系xOy平面內(nèi)，已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)D（﹣4，0）與E（﹣1，0）的距離之比為2．
（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）是否存在經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣1，1）的直線l，它與曲線C相交于A，B兩個(gè)不同點(diǎn)，且滿足 （O為坐標(biāo)原點(diǎn)）關(guān)系的點(diǎn)M也在曲線C上，如果存在，求出直線l的方程；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)M（x，y），則 ， ，

依題意， ，

化簡(jiǎn)整理，得x2+y2=4，

∴曲線c的方程為x2+y2=4．

（2）解：假設(shè)直線l存在，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）

①若直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為：y﹣1=k（x+1）．

聯(lián)立 消去y得，（1+k2）x2+2k（k+1）x+k2+2k﹣3=0，

由韋達(dá)定理得， = ， = ， = ．

∵點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）在圓c上，

∴ ， ．

由 得， ， ．

由于點(diǎn)M也在圓c上，則 ，

整理得， + ，

即x1x2+y1y2=0，所以 + ，

從而得，k2﹣2k+1=0，即k=1，因此，直線l的方程為y﹣1=x+1，即x﹣y+2=0；

②若直線l的斜率不存在，則A（﹣1， ），B（﹣1，- ）， ，故此時(shí)點(diǎn)M不在曲線c上，

綜上所知：k=1，直線方程為x﹣y+2=0．

【解析】（1）設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，由題目條件即可得出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；（2）討論直線l的斜率是否存在，由韋達(dá)定理，根據(jù)題目條件進(jìn)行計(jì)算即可．