Question

已知△ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若△ABC的面積S=

3

16

(b2+c2-a2)．
（1）求角A的正弦值；
（2）若a=3，b＜c，S=6，D為△ABC內任意一點，且到三邊距離之和為d．①求邊b，c的長；②求d的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的面積，結合余弦定理直接求出A的值．
（2）△ABC為直角三角形，建立如圖所示的直角坐標系，則A（4，0），B（0，3），設△ABC內任意一點D的坐標為（x，y），設出AB的距離為z，根據面積、距離利用根據線性規劃知識，d的取值范圍為(

12

5

，4)．

解答：解：（1）由條件，△ABC的面積S=

3

16

(b2+c2-a2)，
而b²+c²-a²=2bccosA，
∴S=

3

8

bccosA…（3分）
又△ABC的面積S=

1

2

bcsinA，

3

4

cosA=sinA
由于sin²A+cos²A=1，所以sinA=

3

5

．          …（6分）
（2）①由a=3，S=6，b²+c²=41
又S=

1

2

bcsinA=

3

10

bc=6，
∴bc=20…（8分）∵b＜c，
∴b=4，c=5…（10分）
②由b=4，c=5，∵a=3，∴△ABC為直角三角形
建立如圖所示的直角坐標系，則A（4，0），B（0，3）
設△ABC內任意一點D的坐標為（x，y），
它到AB的距離為z，
則S=

1

2

(3x+4y+5z)=6，
而d=x+y+z=

12

5

+

1

5

(2x+y)…（12分）
由圖知，（x，y）滿足

x＞0 y＞0 3x+4y＜12

…（14分）
根據線性規劃知識，得

12

5

＜d＜4，
所以，d的取值范圍為(

12

5

，4)．                 …（16分）

點評：本題是中檔題，考查三角函數與余弦定理的應用，線性規劃的知識，考查計算能力．