Question

【題目】已知函數(shù) (其中為自然對數(shù)的底數(shù)).

（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）(－∞，－ ]和[，＋∞)；（2）.

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號，求解函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間即可．（2）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)函數(shù)小于0，分離變量，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求解最值即可得到結(jié)果．

試題解析：

(1)當m＝－2時，f(x)＝(x2－2x)ex，

f′(x)＝(2x－2)ex＋(x2－2x)ex＝(x2－2)ex，

令f′(x)≥0，即x2－2≥0，解得x≤－或x≥.

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，－]和[，＋∞)

(2)依題意，f′(x)＝(2x＋m)ex＋(x2＋mx)ex＝[x2＋(m＋2)x＋m]ex，

因為f′(x)≤0對于x∈[1,3]恒成立，

所以x2＋(m＋2)x＋m≤0，即m≤－＝－(x＋1)＋

令g(x)＝－(x＋1)＋，則g′(x)＝－1－<0恒成立，

所以g(x)在區(qū)間[1,3]上單調(diào)遞減，g(x)min＝g(3)＝－，故m的取值范圍是.