Question

設函數f(x)=x²+ax+2lnx，a∈R，已知函數f(x)在x=1處有極值，
(1)求實數a的值；
(2)當x∈[，e](其中e是自然對數的底數)時，證明：e^{(e-x)(e+x-6)+4}≥x⁴；
(3)證明：對任意的n＞1，n∈N*，不等式恒成立。

Answer 1

解：(1)由題知f′(x)=x+a+的一個根為1，
∴f′(1)=0，
∴1+a+2=0，即a=-3；
(2)，
∴，
由f′(x)=，解得x＞2或0＜x＜1，
由f′(x)=，解得1＜x＜2，
，
∴函數f(x)的單調遞增區間為、(2，e)，單調遞減區間為(1，2)，
∴當時，f(x)的極大值為，
又，，
∴當時，，
∴，
即e²-6e+4≥x²-6x+4lnx，
即e²-x²+6x-6e+4≥41nx，
即(e-x)(e+x-6)+4≥4lnx，
即，
∴。
(3)由(2)可知，函數f(x)的單調遞減區間為(1，2)，單調遞增區間為(2，+∞)，
∴當x∈(1，+∞)時，函數f(x)在x=2處取得最小值2ln2-4，
∴，
即，
∴，
∴，
，
……
，
把上述各式相加，變形得：
，
即
，
∴對任意的n＞1，n∈N*，不等式恒成立。