Question

某高校在2013年的自主招生考試成績中隨機抽取40名學生的筆試成績，按成績共分成五組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示，同時規定成績在85分以上（含85分）的學生為“優秀”，成績小于85分的學生為“良好”，且只有成績為“優秀”的學生才能獲得面試資格．
（Ⅰ）求出第4組的頻率，并補全頻率分布直方圖；
（Ⅱ）根據樣本頻率分布直方圖估計樣本的中位數；
（Ⅲ）如果用分層抽樣的方法從“優秀”和“良好” 的學生中共選出5人，再從這5人中選2人，那么至少有一人是“優秀”的概率是多少？

Answer 1

（Ⅰ）0.2，圖詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）

解析試題分析：在頻率分布直方圖中需要掌握①：每個小矩形的面積代表落在這個組內數據的頻率，所有小矩形的面積和等于1，②利用頻率分布直方圖可以估計總體的數字特征:眾數、中位數、平均數，其中眾數是最高矩形的中點橫坐標；中位數是兩邊矩形的面積和各為的分界點；平均數等于每個小矩形面積乘以中點橫坐標的累加值，③落在每個小矩形內的數據是用其中點橫坐標刻畫的，（Ⅰ）根據頻率和等于1，可計算第四組的頻率，然后除以組距，就是這個組的高，即可補全頻率分布直方圖；（Ⅱ）設樣本的中位數為，則，可計算的值；（Ⅲ）根據分層抽樣可計算出抽取的5人中，優秀3人，良好2人，從中選2人，共有10種結果，其中“全為良好”包括1種結果，∴.

試題解析：（Ⅰ）其它組的頻率為（0．01+0．07+0．06+0．02）×5=0．8，
所以第四組的頻率為0．2，-----2分
頻率/組距是0.04
頻率分布圖如圖：                         4分

（Ⅱ）設樣本的中位數為，則  5分
解得
所以樣本中位數的估計值為      6分
（Ⅲ）依題意良好的人數為人，優秀的人數為人抽取比例為1/8，所以采用分層抽樣的方法抽取的5人中有優秀3人，良好2人   8分
法1：記從這5人中選2人至少有1人是優秀為事件M
將考試成績優秀的三名學生記為A,B，C， 考試成績良好的兩名學生記為a,b
從這5人中任選2人的所有基本事件包括：AB,AC,BC，Aa,Ab,Ba,Bb，Ca,Cb,ab
共10個基本事件                                 9分   
事件M含的情況是：AB,AC,BC，Aa,Ab,Ba,Bb，Ca,Cb，共9個   10分
所以                               12分
法2：P=
考點：1、頻率分布直方圖和應用；2、古典概型.