Question

如圖，設G、H分別為△ABC的重心、垂心，F為線段GH的中點，若△ABC外接圓的半徑為1，則|

AF

|²+|

BF

|²+|

CF

|²=

 

．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：第一步：設△ABC的外接圓圓心為O，根據圖形的幾何特征，由垂心和外心的性質推出四邊形AHCD為平行四邊形，由向量的加、減法運算進行轉化，得出

OH

=3

OG

；
第二步：將

AH

用

OA

，

OG

表示，

BH

用

OB

，

OG

表示，

CH

用

OC

，

OG

表示，再利用重心的向量表達式可達到目的．

解答： 解：作△ABC的高線AM，CN，則BC⊥AH，AB⊥CH，如右圖所示，
設△ABC的外接圓圓心為O，過B作圓的直徑BD，連結DA，DC，則BC⊥DC，AB⊥AD，
∴AH∥DC，AD∥CH，∴四邊形AHCD為平行四邊形，
∴

AH

=

DC

．
由

OB

=-

OD

知

DC

=

OC

-

OD

=

OC

+

OB

，
∴

OH

=

OA

+

AH

=

OA

+

DC

=

OA

+

OC

+

OB

．
∵G為△ABC的重心，
∴

GA

+

GB

+

GC

=

0

，即(

GO

+

OA

)+(

GO

+

OB

)+(

GO

+

OC

)
=3

GO

+

OA

+

OB

+

OC

=3

GO

+

OH

=

0

，
∴

OH

=3

OG

．
∴|

AF

|2=(

AO

+

OF

)2=(

AO

+

OG + OH

2

)2=(

AO

+

OG +3 OG

2

)2
=(

AO

+2

OG

)2=12+4

AO

•

OG

+4|

OG

|2．
同理|

BF

|2=1+4

BO

•

OG

+4

OG

2，|

CF

|2=1+4

CO

•

OG

+4

OG

2，
又根據重心的向量表達式有

OG

=

OA + OB + OC

3

，
∴|

AF

|²+|

BF

|²+|

CF

|²=3+4(

AO

+

B0

+

CO

)•

OG

+12

OG

2
=3+4(-3

OG

)•

OG

+12

OG

2=3．
故答案為3．

點評：1．本題考查了三角形的重心、垂心和外心的性質及三者之間的關系，向量加、減法運算法則，數量積的運算，難度較大．應掌握以下常見的向量表達式：
（1）向量中點公式：

OF

=

1

2

(

OG

+

OH

)（其中F為G，H中點，O為平面內任意一點）；
（2）△ABC的外心O滿足|

OA

|=|

OB

|=|

OC

|=R（其中R為△ABC外接圓圓心）；
（3）△ABC的重心G滿足

GA

+

GB

+

GC

=

0

；
（4）△ABC的重心G的向量表達式為

OG

=

OA + OB + OC

3

（O為平面內任意一點）．
2．作為填空題，求解本題時，還可以取正三角形這個特殊模型，根據重心、垂心、外心合一，立馬得到|

AF

|²+|

BF

|²+|

CF

|²=1+1+1=3．