Question

在數列{a_n}、{b_n}中，a₁＝2，b₁＝4，且a_n，b_n，a_n＋1成等差數列，b_n，a_n＋1，b_n＋1成等比數列(n∈N^*)．

(1)求a₂，a₃，a₄及b₂，b₃，b₄，由此猜測{a_n}，{b_n}的通項公式，并證明你的結論；

(2)證明：＋＋…＋＜.

Answer 1

(1)由條件得2b_n＝a_n＋a_n＋1，a＝b_nb_n＋1.

由此可得a₂＝6，b₂＝9，a₃＝12，b₃＝16，a₄＝20，b₄＝25.

猜測a_n＝n(n＋1)，b_n＝(n＋1)².

用數學歸納法證明：

①當n＝1時，由上可得結論成立．

②假設當n＝k(k≥1且k∈N^*)時，結論成立，

即a_k＝k(k＋1)，b_k＝(k＋1)²，

那么當n＝k＋1時，a_k＋1＝2b_k－a_k＝2(k＋1)²－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，b_k＋1＝＝(k＋2)²，

所以當n＝k＋1時，結論也成立．

由①②，可知a_n＝n(n＋1)，b_n＝(n＋1)²對一切正整數都成立．

錯因　第二問由于不等式的右端為常數，結論本身是不能用數學歸納法證明的，可考慮用放縮法證明，也可考慮加強不等式后，用數學歸納法證明．(2)當n＝1時

＝＜

假設n＝k(k∈N^*)時不等式成立

即＋＋…＋＜

當n＝k＋1時

＋＋…＋＋＜＋

到此無法用數學歸納法證明．

正解　(1)用實錄(1)

(2)證明：＝＜.

n≥2時，由(1)知a_n＋b_n＝(n＋1)(2n＋1)＞2(n＋1)n.

故＋＋…＋

＜＋

＝＋

＝＋＜＋＝.

綜上，原不等式成立．