Question

【題目】在平面直角坐標系中，函數在第一象限內的圖像如圖所示，試做如下操作：把x軸上的區間等分成n個小區間，在每一個小區間上作一個小矩形，使矩形的右端點落在函數的圖像上.若用表示第k個矩形的面積，表示這n個叫矩形的面積總和.

（1）求的表達式；

（2）利用數學歸納法證明，并求出的表達式

（3）求的值，并說明的幾何意義.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析，；（3）．的幾何意義表示函數的圖象與軸，及直線和所圍曲線梯形的面積．

【解析】

（1）第個矩形的高為，面積易得；

（2）用數學歸納法證明；由此等式可求得．

（3）根據極限的性質求極限．

（1）由題意第個矩形的高是，∴；

（2）(i)時，，命題成立，

(ii)設時命題成立，即，

則時，

，

∴時命題成立，

綜上，時，命題為真，即，

；

（3）．

的幾何意義表示函數的圖象與軸，及直線和所圍曲線梯形的面積．