Question

中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，率心率e=

2

2

，此橢圓與直線3x-3y+2

3

=0交于A、B兩點(diǎn)，且OA⊥OB（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求橢圓方程；
（2）若M是橢圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，求∠F₁MF₂的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓方程為.

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)． e=

c

a

=

2

2

，

a2-b2

a2

=

1

2

，a²=2b²．橢圓方程化簡(jiǎn)為　

x2

2b2

+

y2

b2

=1．橢圓與直線相交，解方程組：

x2 2b2 + y2 b2 =1 3x-3y+2 3 =0

?

x2+2y2=2b2 ① y=x+ 2 3 3 ②

，由此能導(dǎo)出所求橢圓．
（2）在橢圓

x2

2

+y2=1中，a=

2

，b=c=1，|MF₁|+|MF₂|=2a，cos∠F1MF2=

|MF1|2+|MF2|2-|F1F2|2

2|MF1|•|MF2|

=-1+

2a2-2c2

-(|MF2|-a)2+a2

，其中：a≤|MF₂|≤a+c．由此能導(dǎo)出∠F1MF2∈[0，

π

2

]．

解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為.

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
∵e=

c

a

=

2

2

，

a2-b2

a2

=

1

2

，a²=2b²．
∴橢圓方程化簡(jiǎn)為　

x2

2b2

+

y2

b2

=1．
∵橢圓與直線相交，解方程組：

x2 2b2 + y2 b2 =1 3x-3y+2 3 =0

?

x2+2y2=2b2 ① y=x+ 2 3 3 ②

，
由①代入②，代簡(jiǎn)得3x2+

8 3

3

x+

8

3

-2b2=0．
根據(jù)韋達(dá)定理，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

x1+x2=- 8 3 9 x1x2= 8 9 - 2b2 9

∵OA⊥OB，x₁x₂+y₁y₂=0，③
由②得y1y2=x1x2+

2 3

3

(x1+x2)  +

4

3

，
把④代入③，得2x1x2+

2 3

3

(x1+x2) +

4

3

=0，
∴b²=1
∴所求橢圓為

x2

2

+y2=1．
（2）在橢圓

x2

2

+y2=1中，a=

2

，b=c=1，
∵|MF₁|+|MF₂|=2a，
∴cos∠F1MF2=

|MF1|2+|MF2|2-|F1F2|2

2|MF1|•|MF2|

=

(2a-|MF2|)2+|MF2|2-4c2

2(2a-|MF2|)•|MF2|

=

2|MF2|2-4a|MF2|+4a2-4c2

4a|MF2|-2|MF2|2

=-1+

2a2-2c2

2a|MF2|-|MF2|2

=-1+

2a2-2c2

-(|MF2|-a)2+a2

其中：a≤|MF₂|≤a+c．
當(dāng)|MF₂|=a時(shí)，cos∠F₁MF₂有最小值為0，
此時(shí)，∠F₁MF₂有最大值為

π

2

，
當(dāng)|MF₂|=a+c時(shí)，即M點(diǎn)與橢圓長(zhǎng)軸左端點(diǎn)重合，∠F₁MF₂有最小值為0，故∠F1MF2∈[0，

π

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．