Question

【題目】已知函數，給出下列結論:

（1）若對任意，且，都有，則為R上減函數；

（2） 若為R上的偶函數，且在內是減函數， （-2）=0，則>0解集為（-2,2）；

（3）若為R上的奇函數，則也是R上的奇函數；

（4）若一個函數定義域且的奇函數，當時,,則當x<0時，其中正確的是____________________

Answer 1

【答案】

【解析】

由單調性的定義，即可判斷（1）；由偶函數的單調性可得f（x）在[0，+∞）上遞增，f（x）＞0即為f（|x|）＞f（2），即有|x|＞2，計算即可判斷（2）；由奇偶性的定義，即可判斷（3）；（4）根據x>0時的解析式，可設x<0,將-x>0代入已知的表達式，再由函數奇偶性得到x<0時的解析式即可.

對于（1），若對于任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有，即當x1＜x2時，f（x1）＞f（x2），則f（x）為R上的減函數，則(1)對；

對于（2），若f（x）為R上的偶函數，且在（﹣∞，0）內是減函數，則f（x）在（0，+∞）上遞增，f（2）=f（﹣2）=0，則f（x）＞0即為f（|x|）＞f（2），即有|x|＞2，解得x＞2或x＜﹣2，則（2）錯；

對于（3），若f（x）為R上的奇函數，則f（﹣x）=﹣f（x），f（﹣x）f（|﹣x|）=﹣f（x）f（|x|），即有y=f（x）f（|x|）是奇函數，則③正確；

對于（4），當時,,當x<0時，-x>0,則=-f(x),故，

故答案為：