Question

【題目】已知函數，

（1）當時，求的單調增區間.

（2）若對任意的實數及任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）將時，可得f（x）解析式，根據二次函數圖象特征可得f（x）的單調增區間；

（2）結合絕對值不等式的性質，利用構造函數法進行求解即可．

（1）當時，f（x）=x2+|x|+b=，

當時，對稱軸x=1，開口向下；f（x）的單調增區間為；

當x時，對稱軸x=﹣1，開口向下；f（x）的單調增區間為；

綜上可得f（x）的單調增區間為 .

（2）因為|f（x）|≤2，所以﹣2≤ax2+|x﹣a|+b≤2，

又因為對任意的實數b∈[0，1]及任意的x∈[﹣3，3]，上式恒成立，

所以﹣2≤ax2+|x﹣a|≤1，（*），

記g（x）=ax2+|x﹣a|，

所以，可得﹣≤a≤﹣，

又（*）式可化為﹣ax2﹣2≤|x﹣a|≤﹣ax2+1，

記h1（x）=﹣ax2+1，h2（x）=﹣ax2﹣2，k（x）=|x﹣a|，

由﹣≤a≤﹣，可知，h2（x）＜0，

所以命題轉化為：只需滿足以下條件

①﹣ax2﹣2=﹣x+a的較小根小于或等于﹣3，

②﹣ax2+1=x﹣a的較小根大于或等于3（或是無實根），

由①得≤﹣3，解得﹣≤a≤0；

由②得或1+4a（a+1）≤0，解得a=﹣，

綜上可知a的取值范圍是a=﹣.