Question

【題目】已知正方形的邊長為分別為的中點，以為棱將正方形折成如圖所示的的二面角，點在線段上．

（1）若為的中點，且直線，由三點所確定平面的交點為，試確定點的位置，并證明直線平面；

（2）是否存在點，使得直線與平面所成的角為；若存在，求此時二面角的余弦值，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）利用中位線不難得到的位置，連接交于，則，證得線面平行；

（2）取中點，以為原點建立空間坐標系，設，利用線面所成角去列方程，解得值，然后確定二面角的兩個面的法向量，利用公式求解即可．

（1）因為直線平面，

故點在平面內也在平面內，

所以點在平面與平面的交線上（如圖所示）

因為，為的中點，所以，

所以，，所以點在的延長線上，且

連結交于，因為四邊形為矩形，所以是的中點

連結，因為為的中位線，所以，

又因為平面，所以直線平面.

（2）由已知可得，，，所以平面，

所以平面平面，取的中點為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

所以，，，，

所以，，

設，則，

設平面的法向量，則，

取，則，，所以，

與平面所成的角為，所以，

所以，所以，解得或，

所以存在點，使得直線與平面所成的角為，

取的中點，則為平面的法向量，因為，

所以，，

設二面角的大小為，

所以，

因為當時，，平面平面，

所以當時，為鈍角，所以.

當時，為銳角，所以.