Question

【題目】已知函數 有一個零點為4，且滿足.

（1）求實數和的值；

（2）試問：是否存在這樣的定值，使得當變化時，曲線在點處的切線互相平行？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；

（3）討論函數在上的零點個數.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)答案見解析；(3)當或時， 在有兩個零點；當時， 在有一個零點.

【解析】試題分析：

(1)由題意得到關于實數b,c的方程組，求解方程組可得；

(2)假設存在滿足題意，結合題意可知是一個與無關的定值，據此可得，平行直線的斜率為；

(3)函數的導函數，結合導函數的性質可得當或時， 在有兩個零點；當時， 在有一個零點.

試題解析：

（1）由題意，解得；

（2）由（1）可知 ，

∴；

假設存在滿足題意，則是一個與無關的定值，

即是一個與無關的定值，

則，即，平行直線的斜率為；

（3） ，

∴，

其中 ，

設兩根為和，考察在上的單調性，如下表

1°當時， ， ，而，

∴在和上各有一個零點，即在有兩個零點；

2°當時， ， ，而，

∴僅在上有一個零點，即在有一個零點；

3°當時， ，且，

①當時， ，則在和上各有一個零點，

即在有兩個零點；

②當時， ，則僅在上有一個零點，

即在有一個零點；

綜上：當或時， 在有兩個零點；

當時， 在有一個零點.