Question

【題目】若定義在上，且不恒為零的函數滿足：對于任意實數和，總有恒成立，則稱為“類余弦型”函數.

（1）已知為“類余弦型”函數，且，求和的值；

（2）證明：函數為偶函數；

（3）若為“類余弦型”函數，且對于任意非零實數，總有，設有理數、滿足，判斷和大小關系，并證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1），；（2）證明見解析；（3），理由見解析.

【解析】

（1）令，可求出的值，令可求出的值；

（2）令，代入題中等式得出，可證明出函數為偶函數；

（3）令，證明出，即可說明對任意、且，有，然后設，，、是非負整數，、為正整數，利用偶函數和前面的結論，即可得出和的大小關系.

（1）令，，則有，，.

令，則有，所以，；

（2）令，可得，，

由于函數的定義域為，因此，函數為偶函數；

（3）時，，，

所以，，

令，即對任意的正整數有，

則，

所以，對于任意正整數，成立，

對任意的、且，則有成立，

、為有理數，所以可設，，其中、為非負整數，、為正整數，則，，

令，，，則、為正整數，

，，所以，，即，

函數為偶函數，，，.