Question

已知數列{a_n}中，a₁＝1，a₂＝2，且a_n+1＝(1＋q)a_n－qa_n－1(n≥2，q≠0)．

(Ⅰ)設b_n＝a_n+1－a_n(n∈N^*)，證明{b_n}是等比數列；

(Ⅱ)求數列{a_n}的通項公式；

(Ⅲ)若a₃是a₆與a₉的等差中項，求q的值，并證明：對任意的n∈N^*，a_n是a_n+3與a_n+6的等差中項．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)證明：由題設，得 　　， 　　即． 　　又，，所以是首項為1，公比為的等比數列． 　　(Ⅱ)解：由(Ⅰ)， 　　， 　　， 　　…… 　　． 　　將以上各式相加，得．所以當時， 　　 　　上式對顯然成立． 　　(Ⅲ)解：由(Ⅱ)，當時，顯然不是與的等差中項，故． 　　由可得，由得 　　，　　① 　　整理得，解得或(舍去)．于是 　　． 　　另一方面， 　　， 　　． 　　由①可得 　　． 　　所以對任意的，是與的等差中項． 　　本小題主要考查等差數列、等比數列的概念、等比數列的通項公式及前項和公式，考查運算能力和推理論證能力及分類討論的思想方法．滿分12分．