Question

已知A，B是△ABC的兩個內角，，（其中是互相垂直的單位向量），若．
（1）試問tanAtanB是否為定值，若是定值，請求出，否則請說明理由；
（2）求tanC的最大值，并判斷此時三角形的形狀．

Answer 1

解：（1）tanAtanB為定值，
證明如下：
由=，得=
∴1+cos（A+B）+=
即2cos（A+B）=cos（A﹣B），即cosAcosB=3sinAsinB
∴tanAtanB=
（2）∵tanAtanB=＞0，
∴tanA＞0，tanB＞0
∴tan（A+B）==（tanA+tanB）≥×2=
∴tan（A+B）≥，即﹣tanC≥
∴tanC≤﹣
當tanC=﹣時，，即tanA=tanB=
∴A=B=30°
∴tanC的最大值為﹣，此時△ABC為等腰三角形